Является воспитанником московского «Динамо». Пришёл в школу клуба семь лет, и с тех пор выступает только за «Динамо». В 2004 году был переведён в дубль, а в апреле 2007 года дебютировал и за основной состав. Стал «Открытием года» в 2007 году, получив приз от РФС как лучший молодой игрок. Ещё бы! Вратарь, который в 20 лет проводит 23 матча на уровне высшей лиги, да ещё и играет достаточно стабильно – это и впрямь событие. Которое не осталось незамеченным тренером первой сборной – за неё Антон дебютировал в матче против Польши в августе того же года.
Однако уже в следующем сезоне Шунин столкнулся с проблемой потери формы, которая усугубилась критическим отношением партнёров по команде и журналистов. В мае 2008 года «Динамо» сыграло дома вничью с «Крыльями Советов» – 2:2. Оба мяча, забитых «Крылышками», были вратарскими, причём второй залетел в компенсированное время. После этого потерял место в основном составе, уступив место в воротах Габулову. Получал возможность выходить на поле лишь в случае травмы или спада у конкурента. Воспользовался своей возможностью осенью 2010 года сполна, проведя 4 из 9 матчей «на ноль».
Сильные стороны: игра на линии ворот
Слабые стороны: неуверенность в себе, нестабильность, игра на выходе
Стиль: вратарь, играющий в рамке
Цитата: «Пока я по-прежнему не могу себя представить в футболке другой команды. Я с семи лет в «Динамо», это мой родной клуб, меня здесь все устраивает. Я никуда не рвусь» (интервью с Шуниным 2009 года).
Факт: в течение пятнадцати месяцев после спада весной 2008 года не провёл ни одного матча за первую команду «Динамо».
Пик: 2007 год – дебют и уверенная игра в основе, вызов в сборную.
Спад: с середины 2008 года – психологический надлом, после которого Шунин так и не вышел на былой уровень игры.